ตัวประกอบและการหาตัวประกอบ

• จำนวนนับ คือ จำนวนเต็มบวก ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, …
• การหารลงตัว คือ การหารที่ไม่มีเศษ หรือเศษเป็น “0”
• ตัวประกอบของจำนวนนับใด ๆ คือ จำนวนนับที่นำไปหารจำนวนนับนั้นได้ลงตัว
• จำนวนเฉพาะ คือ จำนวนนับที่มีตัวประกอบเพียงสองตัว คือ 1 กับจำนวนนับนั้น
• ตัวประกอบเฉพาะ คือ ตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะ
• การแยกตัวประกอบของจำนวนใด ๆ คือ การเขียนจำนวนนั้นในรูป ผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ (อาจจะมีตัวประกอบมากกว่า 2 จำนวน)

 

ภาพที่ 1 ตัวประกอบและการหาตัวประกอบ
ที่มา : ปิยวดี เอ่งฉ้วน

 

การหาตัวประกอบ

          การเขียนจำนวนในรูปผลคูณของตัวประกอบเฉพาะ และจำนวนเฉพาะหลัก คือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, และ 19 (จำนวนเฉพาะที่ต้องจำ)

ตัวอย่าง

1. จงหาตัวประกอบของ 24

วิธีทำ

วิธีที่ 1 (DMFT การหาร)

ดังนั้น จำนวนตัวประกอบของ 24 มีทั้งหมด 8 จำนวน คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

 

การหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมด

          การหาจำนวนตัวประกอบทั้งหมด คือ จำนวนนับที่นำไปหารจำนวนนับนั้นได้ลงตัวทั้งหมด

(ให้จำนวนเฉพาะหลัก คือ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, และ 19)

ตัวอย่าง

2. จงหาตัวประกอบของ 24

วิธีทำ การแยกตัวประกอบของ 24 จะได้ ดังนี้

 

จากการแยกตัวประกอบของ 24 จะได้     2 × 2 × 2 × 3

                                        =        (2 × 2 × 2) × 3

                                        =        8 × 3

                                        =        24

ดังนั้น แสดงว่าการแยกตัวประกอบของ 24 เป็นจริง

วิธีการหาตัวประกอบทั้งหมดของ 24 มีกี่จำนวน อะไรบ้าง

จากการแยกตัวประกอบของ 24 จะได้เท่ากับ 8 × 3

ตัวประกอบของ 8 มี 4 จำนวน คือ 1, 2, 4, 8     

ตัวประกอบของ 3 มี 2 จำนวน คือ 1, 3

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 24 คือ 4 × 2 = 8 จำนวน คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

• การหาตัวประกอบทั้งหมดของ 24 ด้วยวิธีการแยกตัวประกอบ

วิธีทำ   จากการแยกตัวประกอบของ 24 จะได้     2 × 2 × 2 × 3

เมื่อ     

         

นำจำนวน 2, 4, 8 มาคูณกับ 3 ดังนี้

          2 × 3   = 6

          4 × 3   = 12

          8 × 3   = 24

(1 เป็นตัวประกอบของจำนวนนับทุกจำนวน)

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 24 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

ตอบ ตัวประกอบทั้งหมดของ 24 มี 8 จำนวน คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24

 

3. จงหาตัวประกอบของ 72

วิธีทำ  แยกตัวประกอบของ 72 ดังนี้

จากการแยกตัวประกอบของ 72 จะได้     2 × 2 × 2 × 3 × 3

                                        =        (2 × 2 × 2) × (3 × 3)

                                        =        8 × 9

                                        =        72

ดังนั้น แสดงว่าการแยกตัวประกอบของ 72 เป็นจริง

วิธีการหาตัวประกอบทั้งหมดของ 72 มีกี่จำนวน อะไรบ้าง

จากการแยกตัวประกอบของ 72 จะได้เท่ากับ 8 × 9

ตัวประกอบของ 8 มี 4 จำนวน คือ 1, 2, 4, 8     

ตัวประกอบของ 9 มี 3 จำนวน คือ 1, 3, 9

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 72 คือ 4 × 3 = 12 จำนวน

เมื่อ

นำจำนวน 2, 4, 8 มาคูณกับ 3, 9 ดังนี้

(2, 4, 8) × 3

          2 × 3   = 6

          4 × 3   = 12

          8 × 3   = 24     

(2, 4, 8) × 9

          2 × 9   = 18

          4 × 9   = 36

          8 × 9   = 72     

(1 เป็นตัวประกอบของจำนวนนับทุกจำนวน)

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 72 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

ตอบ ตัวประกอบทั้งหมดของ 72 มี 12 จำนวน คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72

ตรวจคำตอบ  (DMFT การหาร)

ดังนั้น ตัวประกอบของ 72 คือ 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72 เป็นจริง

4. จงหาตัวประกอบของ 110

วิธีทำ  แยกตัวประกอบของ 110 ดังนี้

จากการแยกตัวประกอบของ 110 จะได้    2 × 5 × 11

                                        =        (2 × 5) × 11

                                        =        10 × 11

                                        =        110

ดังนั้น แสดงว่าการแยกตัวประกอบของ 110 เป็นจริง

วิธีการหาตัวประกอบทั้งหมดของ 110 มีกี่จำนวน อะไรบ้าง

จากการแยกตัวประกอบของ 110 จะได้เท่ากับ 2 × 5 × 11

ตัวประกอบของ 2        มี 2 จำนวน คือ 1, 2     

ตัวประกอบของ 5        มี 2 จำนวน คือ 1, 5

ตัวประกอบของ 11      มี 2 จำนวน คือ 1, 11

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 110 คือ 2 × 2 × 2  = 8 จำนวน

เมื่อ 2 × 5 × 11

นำจำนวน

             

                    2 × 5             = 10

                    2 × 11           = 22

                    5 × 11           = 55

                    2 × 5 × 11      = 110 

(1 เป็นตัวประกอบของจำนวนนับทุกจำนวน)

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 110 คือ 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110

ตอบ ตัวประกอบทั้งหมดของ 110  มี 8 จำนวน คือ 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110

 

ตรวจคำตอบ 

(DMFT การหาร)

ดังนั้น ตัวประกอบของ 110 คือ 1, 2, 5, 10, 11, 22, 55, 110 เป็นจริง

 

4. จงหาตัวประกอบของ 330

วิธีทำ   แยกตัวประกอบของ 330 ดังนี้

จากการแยกตัวประกอบของ 330 จะได้    2 × 3 × 5 × 11

                                        =        (2 × 3) × (5 × 11)

                                        =        6 × 55

                                        =        330

ดังนั้น แสดงว่าการแยกตัวประกอบของ 330 เป็นจริง

วิธีการหาตัวประกอบทั้งหมดของ 330 มีกี่จำนวน อะไรบ้าง

จากการแยกตัวประกอบของ 330 จะได้เท่ากับ 2 × 3 × 5 × 11

ตัวประกอบของ 2        มี 2 จำนวน คือ 1, 2

ตัวประกอบของ 3        มี 2 จำนวน คือ 1, 3     

ตัวประกอบของ 5        มี 2 จำนวน คือ 1, 5

ตัวประกอบของ 11      มี 2 จำนวน คือ 1, 11

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 330 คือ 2 × 2 × 2 × 2 = 16 จำนวน

เมื่อ 2 × 3 × 5 × 11

ขั้นที่ 1

นำจำนวน   

                  

                              2 × 3   = 6

                              2 × 5   = 10

                              2 × 11 = 22

3 × 5   = 15

                              3 × 11 = 33

                              5 × 11 = 55   

ขั้นที่ 2

                              2 × 3 × 5       = 30   

                              2 × 3 × 11      = 66

                              2 × 5 × 11      = 110

                              3 × 5 × 11      = 165

                              2 × 3 × 5 × 11 = 330

(1 เป็นตัวประกอบของจำนวนนับทุกจำนวน)

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 330 คือ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330

ตอบ ตัวประกอบทั้งหมดของ 330  มี 16 จำนวน คือ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330

 

ตรวจคำตอบ

(DMFT การหาร)

 

ดังนั้น ตัวประกอบของ 330 คือ 1, 2, 3, 5, 6, 10, 11, 15, 22, 30, 33, 55, 66, 110, 165, 330

เป็นจริง

5. จงหาตัวประกอบของ 600

วิธีทำ   แยกตัวประกอบของ 600 ดังนี้

                                               

จากการแยกตัวประกอบของ 600 จะได้    2 × 2 × 2 × 3 × 5 × 5

                                        =        (2 × 2 × 2) × 3 × (5 × 5)

                                        =        8 × 3 × 25

                                        =        600

ดังนั้น แสดงว่าการแยกตัวประกอบของ 600 เป็นจริง

วิธีการหาตัวประกอบทั้งหมดของ 600 มีกี่จำนวน อะไรบ้าง

จากการแยกตัวประกอบของ 600 จะได้เท่ากับ 8 × 3 × 25

ตัวประกอบของ 3        มี 2 จำนวน คือ 1, 3     

ตัวประกอบของ 8        มี 4 จำนวน คือ 1, 2, 4, 8

ตัวประกอบของ 25      มี 3 จำนวน คือ 1, 5, 25

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 600 คือ 2 × 4 × 3 = 24 จำนวน

เมื่อ     

นำจำนวน (2, 4, 8) × 3 × (5, 25) ดังน

                                 

                                         2 × 3             = 6

                                        2 × 5             = 10

                                        3 × 5             = 15

                                        2 × 3 × 5       = 30

                                  

                                        4 × 3             = 12

                                        4 × 5             = 20

                                        3 × 5             = 15

                                        4 × 3 × 5       = 60

                                    

                                        8 × 3             = 24

                                        8 × 5             = 40

                                        3 × 5             = 15

                                        8 × 3 × 5       = 120

                              

                                        2 × 3             = 6

                                        2 × 25           = 50

                                        3 × 25           = 75

                                        2 × 3 × 25      = 150

                                  

                                        4 × 3             = 12

                                        4 × 25           = 100

                                        3 × 25           = 75

                                        4 × 3 × 25      = 300

                                   

                                        8 × 3             = 24

                                        8 × 25           = 200

                                        3 × 25           = 75

                                        8 × 3 × 25      = 600

(1 เป็นตัวประกอบของจำนวนนับทุกจำนวน)

ดังนั้น ตัวประกอบทั้งหมดของ 600 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600

ตอบ ตัวประกอบทั้งหมดของ 600  มี 24 จำนวน คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600

ตรวจคำตอบ

(DMFT การหาร)

ดังนั้น ตัวประกอบของ 600 คือ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 25, 30, 40, 50, 60, 75, 100, 120, 150, 200, 300, 600 เป็นจริง

แหล่งที่มา

นิติกร ระดม. 2551. คู่มือครู อจท. คณิตศาสตร์ ป6.  กรุงเทพมหานคร: อักษรเจริญทัศน์

กรมวิชาการ กระทรวงศึกษาธิการ. (2538). หนังสือเอกสารเสริมความรู้คณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา อันดับที่3 (1).  กรุงเทพมหานคร: โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว.

ธิดาสิริ ภัทรากาญจน์. (2548). เกมคณิตปริศนา: พาสนุกปลูกปัญญา (3).  กรุงเทพฯ: บริษัท ด่านสุทธาการพิมพ์ จำกัด  

สำนักงานส่งเสริมการศึกษานอกระบบและการศึกษาตามอัธยาศัย. (2551). เอกสารสรุปเนื้อหาที่ต้องรู้รายวิชาคณิตศาสตร์ ระดับประถมศึกษา. กรุงเทพฯ: 

สำนักงาน กศน.สำนักงานปลัดกระทรวงศึกษาธิการ.นางกนกวลี อุษณกรกุล. (2551). หนังสือเรียน รายวิชาพื้นฐาน คณิตศาสตร์ ม.1 เล่ม1 ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1 (1). กรุงเทพมหานคร ; อักษรเจริญทัศน์

ทรงวิทย์ สุวรรณธาดา และคณะ. (2551). แบบฝึกหัด รายวิชาพื้นฐานกลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์ ป.6. กรุงเทพมหานคร: บริษัทแม็คเอ็ดยูเคชั่น จำกัด

Return to contents

---